研究随机现象的数学描述方式，包括离散型和连续型随机变量及其分布特征
离散型随机变量是指只能取有限个或可数无限个值的随机变量。
\[ X: \Omega \to \mathbb{R} \]
二项分布
\( X \sim B(n, p) \), \( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \)
泊松分布
\( X \sim P(\lambda) \), \( P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)
几何分布
\( P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \), \( k=1,2,... \)
连续型随机变量是指可以在某个区间内取任意实数值的随机变量。
\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx \]
均匀分布
\( X \sim U(a,b) \), \( f(x) = \frac{1}{b-a} \)
正态分布
\( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
指数分布
\( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \), \( x \geq 0 \)
描述随机变量取值的平均值
离散型: \( E(X) = \sum x_i p_i \)
连续型: \( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \)
描述随机变量取值与期望的偏离程度
\( D(X) = E[(X-E(X))^2] \)
\( D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \)
描述两个随机变量的联动性
\( Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \)
\( Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \)
保险公司统计某类保险的索赔次数服从泊松分布，平均每年索赔2.5次。
\( X \sim P(\lambda=2.5) \), \( P(X=k) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!} \)
计算年索赔不超过3次的概率: \( P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^3 P(X=k) \)
某产品的寿命服从正态分布，均值为8年，标准差为2年。
\( X \sim N(\mu=8, \sigma^2=4) \), \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-8)^2}{8}} \)
计算产品寿命超过10年的概率: \( P(X > 10) = 1 - \Phi(\frac{10-8}{2}) \)